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Viareggio
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I QUADERNI DELL'ALMANACCO

L'ASTROLABIO

di Franco Martinelli

(3)

 





IL DISEGNO E LA PROGETTAZIONE

La prima cosa da fare è stabilire le dimensioni che dovrà avere l’astrolabio, in particolare il disco della lamina. Per far questo occorre determinare le dimensioni della "sfera rappresentativa", cioè di quel modello di sfera armillare che vogliamo "schiacciare" sul piano .
Fissato quindi a priori il raggio della lamina e la parte di cielo che su di essa vogliamo riportare, si ricava quello della sfera.
Normalmente nell’astrolabio viene rappresentata la parte di cielo di tutto l’emisfero nord e quello al di sotto dell’Equatore sino al Tropico del Capricorno che di fatto costituisce il bordo della lamina stessa.
Nella figura soprastante il Tropico del Capricorno è indicato dal punto T che viene proiettato sul piano dell'Equatore nel corrispondente punto T'; la distanza OT' corrisponde al raggio della lamina; il raggio Rg del modello di sfera è dato da:

Rg = OT’ / tan (alfa)

L’angolo alfa, con vertice PcS, sottende l’arco di circonferenza PcN-T, esattamente come l’angolo con vertice nel centro O della sfera. Come già specificato nel paragrafo introduttivo alla proiezione stereografica l’angolo alfa è pari alla metà dell’angolo al centro sotteso dallo stesso arco.
Essendo l’angolo al centro pari a 90° più la declinazione del Tropico (23°.44), l’angolo alfa sarà pari a

alfa = (90°+23*.44)/2 = 56°.72

Nel caso volessimo limitare la rappresentazione della sfera ad una declinazione (delta) diversa da quella del Tropico del Capricorno l’espressione generale del raggio della sfera diventa


Rg = OT’ / tan (45 – delta/2)

Ove delta assume il consueto segno algebrico negativo per le declinazioni meridionali e positivo per quelle settentrionali.

LA LAMINA
Stabiliamo che il modello di astrolabio che ci accingiamo a costruire abbia, ad esempio, il raggio della lamina di 8 cm, la madre di 9.5 cm, ed il bordo di questa sia largo 1.5 cm.
Vogliamo inoltre poter rappresentare una parte di cielo anche oltre il Tropico del Capricorno che quindi renderemo di raggio più piccolo rispetto al bordo della lamina, e pari ad esempio a 6.5 cm.
Il raggio della sfera sarà dunque

Rg = 6.5 / tan (56.72) = 4.27

E che per comodità poniamo pari a Rg = 4.25
Il parallelo di massima declinazione meridionale rappresentato sarà pertanto circa 34° (ne omettiamo il calcolo ma è semplice arrivarci).

L’Equatore e i Tropici
Equatore e Tropici, essendo cerchi sulla sfera, vengono rappresentati sulla proiezione con altrettanti cerchi il cui raggio sarà dato dall’espressione generale (facendo ancora riferimento alla figura precedente)

OT’ = R tan (alfa)

dove abbiamo già visto che l’angolo alfa è pari alla relazione algebrica

(90-delta)/2       ovvero       45-delta/2

Per i tre cerchi in esame gli angoli alfa sono rispettivamente

        Tropico del Cancro         delta = +23.44   alfa = (90-23.44)/2 = 33.28
        Equatore                   delta =   0°     alfa =  90/2 = 45
        Tropico del Capricorno     delta = -23.44   alfa = (90+23.44)/2 = 56.72
e i raggi diventano
           Tropico del Cancro       OP'   4.25 tan(33.28) = 2.79
           Equatore                 OE    4.25 tan(45)    = 4.25
           Tropico del Capricorno   OT'   4.25 tan(56.72) = 6.47
La lamina si presenta come nella figura sottostante.

I tre cerchi sono relativi alla sfera celeste senza alcun riferimento alla posizione dell’osservatore, pertanto a parità di dimensioni dello strumento essi sono universali e la loro collocazione è identica per tutte le lamine di cui è dotato l’astrolabio.


Zenith e Nadir
La parte restante, e più cospicua, della lamina contiene quella parte di sfera che è legata della latitudine dell’osservatore. Questi riferimenti sono pertanto variabili e ciò giustifica la dotazione di verse lamine che accompagnava lo strumento, costruite per diverse latitudini ed in genere relative alle principali città dell’epoca (La Mecca, Granada, Parigi, Roma, ecc.) o di particolare rilevanza religiosa.
Zenith e Nadir vengono proiettati nei rispettivi punti Z' e Z''

alle rispettive distanze:

               OZ’ = R tan (alfa)    e     OZ’' = R tan (90-alfa)   
dove l'angolo alfa è pari alla metà dell’angolo al centro 90° - Latitudine (noto anche come colatitudine); pertanto
           OZ’ = R tan (45-Lat/2)    e     OZ’’ = R tan [90-(45-Lat/2)]
Per il nostro modello, con R= 4.25 e per la Latitudine 44° N si ha
            OZ’  = R tan (45-Lat/2)  = 4.25 tan (45-22)  =   1.8 cm
            OZ’’ = R tan (45+Lat/2) = 4.25 tan (4.25+22) = -10.01 cm
Di norma è improbabile che il nadir possa essere proiettato sullo lamina. La distanza alla quale viene proiettato è talmente elevata da caderne sicuramente fuori. Ciò non ostante è necessario calcolarne la posizione per i successivi calcoli. Il segno negativo ha il solo scopo di mettere in evidenza che il Nadir si trova dalla parte opposta dello Zenith, rispetto al centro della lamina.
La linea congiungente lo zenith con il centro è la proiezione e la rappresentazione del meridiano astronomico dell’osservatore. La direzione Sud è, rispetto al centro del disco, dalla parte dello zenith, mentra il Nord è dalla parte opposta.

Orizzonte
La distanza ON’ del cardine Nord dell'orizzonte è data dalla (ormai consueta) relazione

ON’ = R tan (Latit/2)

analogamente, il cardine Sud, verrebbe proiettato alla distanza

OS’ = R tan (90-Lat/2)

per il nostro astrolabio, si ottiene:
           ON’ = R tan (Latit/2) = 4.25 tan (22°) =    1.72 cm
           OS’ = R tan (90-22)   = 4.25 tan (68°) = - 10.52 cm
Individuati i due punti diametralmente opposti per i quali passa la proiezione dell’orizzonte, sarà semplice tracciare materialmente il cerchio sulla lamina; il raggio è dato da
                             (1.72 + 10.52) /2 = 6.12 cm
ed il suo centro dista dal punto O
                                  6.12 - 1.72 = 4.4 cm.
Rispetto al centro della lamina il centro dell’orizzonte giace lungo il meridiano e dalla parte del cardine Sud.
E' opportuno notare che tale centro, come già annotato, serve solo a tracciare l'orizzonte sulla lamine ed è il centro geometrico della proiezione. Non corrisponde al centro vero dell'orizzonte che, come noto, coincide con il centro della sfera indicata dal punto O.
Si nota che l'orizzonte non sarà completamente tracciabile sulla lamina e buona parte di esso, quella verso settentrione, dovrà essere tagliata via.
A questo punto la lamina si presenta così:

Paralleli di altezza (almucantarath)
La costruzione degli almucantarath è analoga a quella dell'orizzonte, di cui quest'ultimo anzi è un caso particolare.
Si determinano le proiezioni dei punti di intersezione di un qualunque parallelo con il meridiano; la loro distanza costituisce il diametro del cerchio proiettato ed il loro punto medio il centro geometrico.
Con questi elementi è possibile con un compasso disegnare qualsiasi almucantarath di altezza h.
Le dimensioni dei cerchi sono decrescenti, a partire dall'orizzonte, e per una altezza di 90° il cerchio si riduce ad un punto coincidente con lo Zenith.

Gli angoli alfa e beta sono pari a:
         alfa = (Lat - h)/2        beta = (90-Lat + 90-h)/2 = (180-Lat-h)/2
ed i punti A e B vengono proiettati alle distanze
                OA' = R tan(alfa) = R tan((lat-h)/2)
                OB' = R tan(beta) = R tan((180-Lat-h)/2)
Il raggio dell'almucantarath proiettato è
                   rh = (OA' + OB')/2
e la posizione del centro dal centro O della lamina è
                 xc = OA' - rh
Qui di seguito forniamo i calcoli già risolti per i paralleli di altezza multipli di 10° ed in più quelli relativi agli istanti dei crepuscoli (altezza negative 6°, 12°, 18°):
        alt.     alfa    beta       OA'      OB'         rh       xc
        -6°       25      71      -2.00     12.30       7.10     5.20  (crepuscolo civile)
       -12°       28      74      -2.20     14.80       8.50     6.30  (crepuscolo nautico)
       -18°       31      77      -2.50     18.40      10.40     8.00  (crepuscolo astronomico)
      22      68      -1.72     10.52       6.12     4.40  (orizzonte)
        10°       17      63      -1.30      8.34       4.82     3.52
        20°       12      58      -0.90      6.80       3.85     2.95
        30°        7      53      -0.52      5.64       3.08     2.56
        40°        2      48      -0.15      4.72       2.43     2.29
        50°       -3      43       0.22      3.96       1.87     2.09
        60°       -8      38       0.60      3.32       1.36     1.96
        70°      -13      33       0.98      2.76       0.89     1.87
        80°      -18      28       1.38      2.26       0.44     1.82
        90°      -23      23       1.80      1.80       0.0      1.80  (zenith)
Sono stati forniti anche i dati relativi all'orizzonte e allo zenith in quanto costituiscono casi particolari di un generico parallelo di altezza.
I valori negativi di OA'devono essere riportati dal centro O dela lamina nella direzione Nord del meridiano, quelli positivi nella direzione Sud. Le distanze OB' vanno riportate tutte verso Sud.
Gli archi di cerchio trattegiati e al di sotto dell'orizzonte sono quelli relativi ai crepscoli.
A questo stadio del lavoro la lamina appare così:


Cerchi verticali o di azimuth
I cerchi verticali sulla sfera sono circoli massimi, ortogonali all'orizzonte e passanti per lo Zenith ed il Nadir.
In quanto cerchi sono rappresentati sulla lamina mediante altrettante circonferenze. Solo il verticale coincidente con il meridiano astronomico, giacendo in un piano contenente il punto di vista della proiezione (Polo Celeste Sud), è rappresentato con un segmento.
Anche sulla lamina i cerchi proiezione dovranno passare tutti dai punti proiezione dello Zenith e del Nadir; la loro costruzione è un po' laboriosa ma diventa di facile comprensione se teniamo presente le due seguenti considerazioni.
1) Il segmento congiungente lo Zenith ed il Nadir è una corda comune a tutti i verticali; poichè il centro di una qualunque circonferenza giace sull'asse di una qualunque sua corda, ne risulta che l'asse perpendicolare al meridiano ed equidistante da Zenith e Nadir (passante per il punto M nella figura sottostante) è il luogo dei centri di tutti i verticali-proiezione, qualunque ne sia il raggio.
2) Una delle proprietà della proiezione stereografica è quella di conservare immutati gli angoli. Questo significa che nello Zenith (o nel Nadir) il verticale ( o meglio la sua tangente) forma con il meridiano un angolo pari al suo azimuth.


I centri dei verticali, oltre a giacere sull'asse passante per il punto M, giacciono anche sulla normale alla tangente in un qualsiasi punto. Prendendo in considerazione la le tangenti nello Zenith, il centro C1 di un qualsiasi verticale dista dal punto M la quantità

         M-C1 = Zenith-M tan(90-azimuth) 
E' inoltre possibile calcolare le dimensioni del raggio
         r = ZC = ZM / cos(90°-az)
         r = ZM / sen(az)
Per il nostro astrolabio, con raggio della sfera rappresentativa pari a 4.25 cm, la distanza tra Zenith e Nadir è 11.81 cm (vedi più sopra) e la distanza del punto M dallo Zenith è 5.9 cm. Si ottiene così la tabella di costruzione dei verticali per i diversi valori di azimuth
         azimuth          Z-M          M-C         raggio 
           10°            5.90        33.46         33.97
           20°            5.90        16.21         17.25
           30°            5.90        10.22         11.80
           40°            5.90         7.03          9.18
           50°            5.90         4.95          7.70
           60°            5.90         3.41          6.81
           70°            5.90         2.15          6.28
           80°            5.90         1.04          6.00
           90°            5.90         0.00          5.90
Non è necessario tabellare i valori oltre i 90° in quanto i cerchi calcolati consentono di tracciare non solo gli azimuth nominali ma anche quelli opposti potendosi tracciare i circoli da orizzonte ad orizzonte, passando per lo zenith.
I rimanenti azimuth sono inoltre simmetrici a quelli già calcolati e i cerchi si possono tracciare mutando di segno al valore MC (spostando cioè i centri dei cerchi in basso, se prima si erano posizionati in alto e viceversa).
Il Primo Verticale (az=90° o 270°) ha il centro sulla linea meridiana ed incontra l'orizzonte in corrispondenza dell'Equatore.
La linea meridiana (az=0° o 180°) ha il centro all'infinito e quindi appare, correttamente, come un segmento.
Il gruppo dei cerchi verticali tagliati in corrispondenza del'orizzonte, e l'intera lamina finalmente completa, appaiono così.


Per questo mese ci fermiamo qui, lasciandovi il tempo di riflettere e digerire quanto sopra esposto.
Se non avete conoscenze matematiche che vi consentano di comprendere completamente la trattazione non vi spaventate e continuate a seguirci; alla fine forniremo i disegni completi già pronti e scaricabili da queste pagine. Per costruire il vostro astrolabio non dovrete fare altro che ritagliarli ed incollarli su un qualunque supporto, anche di semplice cartone.
Nella parte seguente prenderemo in esame la progettazione della rete.




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