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Viareggio
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I QUADERNI DELL'ALMANACCO

L'ASTROLABIO

di Franco Martinelli

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LA COSTRUZIONE DEL DORSO

Abbiamo già avuto occasione di descrivere nei particolari la struttura del dorso dell'astrolabio. Ora si tratta di fornire le spiegazioni per costruirne uno.
La faccia posteriore assolve alla duplice funzione di strumento di misura e regolo calcolatore per la posizione del Sole; inoltre spazio permettendo, al centro sono riportate scale e grafici per la soluzione speditiva dei più ricorrenti calcoli matematici e geometrici.

LA MISURA DELLE ALTEZZE
La scala più periferica consiste in una semplice ripartizione in gradi sessagesimali e può essere ottenuta con l'ausilio di un normale goniometro.
La scala è divisa in quattro quadranti graduati ciascuno da 0° a 90°. Sulla linea verticale, passante per il punto di sospensione ed il centro dello strumento va riportato il valore di 90° (sia in alto che in basso), mentre sulla linea orizzontale il valore zero (sia sul lato destro che su quello sinistro). La scala serve per misurare, con l'ausilio dell'alidada imperniata al centro del dorso, le altezze degli astri o l'elevazione della sommità di punti notevoli (cime di monti, punte di campanili, ecc.). La graduazione può essere organizzata a piacere per una più comoda lettura del valore. Nel nostro caso vi è una prima ripartizione di 5° in 5° (quella più esterna) ed una ripartizione di grado in grado.
Per eliminare errori di eccentricità dell'alidada e della graduazione il valore va letto sulle due scale opposte e ne va fatta la media.


LE LONGITUDINI CELESTI
Le successive e più interne scale concentriche devono essere intese come un tutt'uno. Esse infatti servono a calcolare la longitudine del Sole in funzione della data di calendario per poter orientare l'eclittica sulla faccia anteriore dell'astrolabio.
Sempre nelle precedenti parti, a suo tempo trattate, abbiamo illustrato la logica di queste divisioni e quindi non staremo a ripeterle.
La scala delle longitudini è, ancora una volta, una semplice ripartizione in 360° che si può ottenere con il goniometro. A questo scopo si può riutilizzare la graduazione già effettuata per la misura delle altezze, avendo cura di associarvi valori diversi. Intanto c'è da dire che le longitudini anticamente, a differenza da quanto facciamo adesso, non erano misurate circolarmente da 0° a 360°, ma semplicemenete ripartite in dodici gruppi da 30° ciascuno. Tali gruppi corrispondevano ai segni astrologici.
Sfruttando quindi la scala delle altezze (grado per grado) vi affianchiamo internamente una ulteriore ripartizione in sei cinquine, a loro volta raggruppate in base al segno zodiacale di appartenenza.
Non ha importanza dove iniziare la graduazione, qualunque punto può essere prescelto. In alto (in corrispondenza dei 90° di altezza) possiamo far coincidere l'inizio del segno zodiacale del Cancro, procedendo in senso antiorario per gli altri segni (Leone, Vergine, Bilancia, ecc.). Il senso antiorario non è tassativo ma è consigliabile. Esso infatti è il senso di spostamento del Sole all'interno dei segni zodiacali.
Più complessa è la costruzione della scala calendariale (giorni e mesi) dovuta al fatto che la velocità in longitudine del Sole non è costante, ma maggiore quando esso è più vicino alla Terra (intorno a Gennaio) e minore quando è più lontano (Luglio). Questo comporta che pur essendo ogni segno zodicale rigorosamente ampio 30° la permanenza del Sole al suo interno è data da un variabile numero di gorni.
Così ad esempio nel segno del Cancro il Sole rimane per 32 giorni mentre nel segno dell'Acquario solo 29 giorni. L'ampiezza angolare di ogni singolo mese dovrà tenere conto di queste differenze e pertanto la graduazione non sarà uniforme. C'è inoltre da considerare che le date di ingresso nei segni non sono costanti ma possono variare di un giorno nel ciclo quadriennale degli anni bisestili. Tutte queste variabili complicano non poco il disegno della scala calendariale che deve essere esattamente agganciata alla scala delle longitudini per una corretta conversione data-longitudine.
L'aggancio viene effettuato valutando su un periodo di quattro anni la longitudine media del Sole in corrispondenza del primo giorno di ogni mese e disegnando una serie di scale concentriche (giorni, decadi, mesi) adiacenti alla scala dello zodiaco.
La tabella di corrispondenza tra primo giorno del mese e longitudine media del Sole è la seguente (è stata calcolata per il quadrienno 2004-2007);

           Data          Longitudine           Data         Longitudine 
         1 Gennaio          281°.1           1 Luglio           99°.9  
         1 Febbraio         314°.4           1 Agosto          131°.1  
         1 Marzo            341°.9           1 Settembre       160°.1     
         1 Aprile            10°.3           1 Ottobre         187°.1
         1 Maggio            38°.1           1 Novembre        216°.1 
         1 Giugno            68°.9           1 Dicembre        247°.0
Poichè in alto abbiamo deciso di porre l'inzio del segno del Capricorno, corrispondente a 90° di Longitudine, sul lato destro avremo il grado inziale dell'Ariete cui corrisponde il valore di Longitudine di 0°. Da tale posizione misureremo i gradi di longitudine riportati in tabella per poter tracciare le divisioni della scala dei mesi.
Ogni mese andrà diviso in 28, 30 o 31 parti uguali in base ai giorni che contiene e, per meglio visualizzare il periodo costruiremo un'altra scala concentrica con divisioni ogni 5 giorni.
Se vogliamo costruire anche la scala dei singoli giorni il lavoro sarà molto impegnativo dovendo tracciare 365 divisioni di ampiezza mediamente inferiore al grado. Farlo a mano è praticamente impossibile.
Nel disegno schematico abbiamo riportato come esempio le modalità di ripartizione di alcuni mesi e di alcuni segni zodiacali, con i relativi angoli rispetto al segno dell'Ariete. Per il mese di Settembre, ampio solo 27° di longitudine, abbiamo riportato anche le divisioni ogni 5 giorni e sulla scala adiacente e più esterna, quella giornaliera. Ogni giorno sarà ampio 0°.9 e ogni cinquina 4°.5.
Considerando il mese di Febbraio pari a 28 giorni abbiamo introdotto un elemento di imprecisione che si rende evidente solo durante gli anni bisestili. Tale imprecisione risulta però di modesta entità e sicuramente inferiore alla capacità di suddividere correttamente e precisamente la scala dei giorni e desumerne la corrispondente longitudine. Negli anni bisestili, per il 29 di Febbraio si farà riferimento alla tacca compresa tra l'ultima del mese e la prima di Marzo.


LA SCALA DELLE TANGENTI
Lo spazio libero al centro del disco veniva sfruttato inserendo tavole o diagrammi di uso particolare. A differenza delle scale delle altezze e delle longitudini, che erano praticamente obbligatorie su tutti i modelli se li si volevano utilizzare anche come strumenti di misura, ciò che veniva posto al centro era estremamente variabile ed il più delle volte, personalizzato sulle esigenze dell'utilizzatore dello strumento.
Un diagramma molto diffuso è quello cosiddetto dell'umbra recta e umbra versa, termini con i quali anticamente si indicavano la tangente e cotangente trigonometrica. Tale diagramma consentiva la risoluzione di triangoli rettangoli e, tipicamente, si utilizzava per determinare la distanza da un oggetto di altezza nota e viceversa.
Il termine umbra deriva dall'impiego della lunghezza dell'ombra proiettata da un oggetto verticale (gnomone) per la determinazione dell'altezza del Sole.
Il diagramma è costruito sostanzialmente sotto forma di triangolo rettangolo i cui cateti sono divisi in un numero arbitrario di parti uguali; una tra le tante divisioni impiegate era in dodicesimi, come nel caso da noi proposto.
Anticamente la tangente trigonometrica era data sotto forma di rapporto tra numeri interi. Noto pertanto il rapporto tra la lunghezza del cateto orizzontale e quello verticale (2/12, 3/12, ... 12/12) era possibile determinare l'angolo al vertice e viceversa.
Il diagramma è fatto in modo che il vertice del triangolo rettangolo coincida con il centro dell'astrolabio ed il perno di rotazione dell'alidada; posizionando quest'ultima sulla scala graduata delle altezze (bordo inferiore dello strumento) è possibile determinare il valore della tangente.


Il quadrato umbra recta e umbra versa


Il triangolo viene poi completato in modo da formare un quadrato ed estendere così la possibilità di calcolo fino ad angoli pari a 90°. Per un principio di simmetria, ma solo di natura estetica, il quadrato era riprodotto da entrambe le parti rispetto all'asse verticale dello strumento.
La costruzione del quadrato è pertanto estremamente semplice e può essere personalizzata a piacere. Si tratta solo di dividere in parti uguali i suoi lati, qualunque sia il numero di parti e qualunque siano le sue dimensioni. E' ovvio che una suddivisione più fitta consente di effettuare calcoli più precisi.
Nella figura di cui sopra sono riportati la modalità di costruzione del quadrato per rapporti in dodicesimi e due esempi di calcolo.
Con un rapporto di 12/12 si ottiene una (moderna) tangente trigonometrica pari a 1 ed il corrispondente angolo di 45°; per 7/12 si ha la tangente pari a 0.5833 ed una angolo di circa 30°.

Con questa parte abbiamo terminato le istruzioni dettagliate per la progettazione di tutte le componenti dell'astrolabio; qualcosa è stato omesso per non appesantire eccessivamente la trattazione ed ulteriori approfondimenti saranno affrontati nelle parti seguenti.
Adesso si tratta di mettere insieme le nozioni apprese sin qui e costruire materialmente lo strumento e, finalmente, utilizzarlo.


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